class="p1">И тут теория Фреге дала сбой. Ведь «множество, образованное лошадьми, – не лошадь», рассуждал Рассел. Можно оседлать конкретную лошадь, но не множество. Эта конкретная лошадь будет членом множества, но само множество членом самого себя не будет. Для Фреге это был удар. Стройная концепция, с которой он намеревался войти в историю математики, полетела коту под хвост.

Рассел между тем рассуждал дальше. Он установил, что множества делятся на те, которые являются членами самих себя, и на те, которые не являются. Допустим, есть множество множеств, которые «не являются членом самих себя». Назовем его множеством А. Но является ли А членом самого себя? И тут возникает логическое противоречие: множество А не может существовать, но его существование вполне соответствует аксиоме выделения Фреге. Невинная аксиома оказывается внутренне противоречивой.

В 1904 году Рассел выпустил книгу с описанием ставшего знаменитым парадокса брадобрея. Представим себе деревню, писал Рассел, где живет только один брадобрей. Он бреет всех мужчин, которые не бреются сами. Вопрос: бреет ли брадобрей сам себя? Парадокс Рассела привел к тому, что математический мир сотряс кризис. Теория Кантора, поддержанная Фреге, уже успела проникнуть в фундаментальные области математики. Но после вмешательства Рассела она оказалась под огромным сомнением. Теперь ученые не верили ни во что. В любом рассуждении, которое ранее казалось очевидным, подозревали возможность противоречия. Сомнению подвергались основания математики.

Хуже всего пришлось несчастному Фреге. Парадокс Рассела ставил крест на всех его рассуждениях. Второй том «Основных законов математики» всетаки вышел, но Фреге добавил к нему горькое признание: «Трудно вообразить нечто более ужасное для ученого, чем зрелище того, как подрывается фундамент, когда работа заканчивается. Таково положение, в которое меня поставило письмо господина Бертрана Рассела».

Теория множеств Кантора снова была почти отринута. Однако Давид Гильберт был глубоко убежден, что прав именно Кантор и будущее за бесконечностями. К 1920 году Гильберт ринулся в бой под лозунгом «Никто не сможет изгнать нас из рая, который создал для нас Кантор».

Гильберт считал, что при правильном подходе математик может работать с любым объектом, в том числе и с бесконечностью. Любая математическая теория должна быть основана на аксиомах, то есть некоторых базовых утверждениях, принятых в качестве истинных. Любое утверждение должно быть доказано на основе этих аксиом с помощью утверждений, чья справедливость проверяется алгоритмически. Начать Гильберт предлагал с арифметики.

Десять лет Гильберт занимался разработкой арифметической аксиоматики. Он сумел доказать три ее ключевых пункта. Вопервых, математика является полной, то есть любое математическое утверждение можно доказать или опровергнуть, основываясь на правилах самой дисциплины. Вовторых, математика является непротиворечивой, то есть нельзя одновременно доказать и опровергнуть некое утверждение, не нарушая принятых правил. И втретьих, математика является разрешимой, то есть, пользуясь правилами, про любое утверждение можно сказать, доказуемо оно или нет. Гильберт настаивал, что и другие науки при создании соответствующей аксиоматики станут такими же ослепительно прекрасными – полными, непротиворечивыми и разрешимыми.

5 сентября 1930 года в родном городе Гильберта Кенигсберге открылся очередной Международный математический конгресс. Он продолжался три дня – с пятницы 5 сентября по воскресенье 7 сентября. Конгресс должен был завершиться торжественным чествованием Гильберта, который наконецто убедил всех в своей теории и помирил, казалось бы, непримиримых противников.

Во время воскресного пленарного заседания математик Арен Гейтинг, бывший противник Кантора, заявил: «Если бы проект Гильберта удалось реализовать, то классическая математика была бы оправдана и тогда все приняли бы бесконечность с распростертыми объятиями». Казалось, истина и дружба победили.

Когда счастливые ученые уже собирались покинуть зал, неизвестный худощавый молодой человек в очках поднял руку и попросил слова. Курту Гёделю в тот момент было всего двадцать четыре года. Он страшно нервничал. Он только что защитил докторскую диссертацию, и его имя никому ничего не говорило. Гёдель объявил, что, если соблюдать условие Гильберта о проверяемости доказательств, не получится создать такую систему аксиом арифметики, в которой можно было бы доказать все утверждения ее теории. Всегда будут существовать утверждения истинные, но недоказуемые на основе аксиом – такова была первая теорема о неполноте. Даже если предложенные аксиомы позволяют доказать некую часть арифметических истин, то проверить их непротиворечивость алгоритмически невозможно. Опасность парадокса будет сохраняться. Такова вторая теорема о неполноте. Выходило, что юный Гёдель полностью опроверг программу Гильберта, чествовать победу которой собрались все ведущие математики мира.

Логика Гёделя была настолько ясной, что ученые, и даже сам Гильберт, приняли ее тут же. Такого почти не бывает. Обычно любая новая математическая теория встречается яростным недоверием, как то было, например, с теорией Кантора. Но тут у математиков возражений не нашлось. Гёдель использовал знаменитый парадокс лжеца – античный аналог парадокса Рассела о брадобрее. «Критяне всегда лгут», – сказал философ Эпименид. Однако сам он был критянином, поэтому фраза оказалась замкнута на саму себя: если он говорит правду, то лжет, но если он лжет, значит, говорит правду.

Программа Гильберта предполагала, что математические утверждения можно доказать, опираясь на фиксированный набор аксиом. А для того, чтобы доказать прежде недоказуемое утверждение, достаточно добавить одну новую аксиому. Так вот Гёдель показал, что этого все равно недостаточно, – как бы вы ни дополняли систему новыми аксиомами, всегда останутся утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть.

Татьяна читала все изданные работы Гёделя. Их было немного. Она проследила все повороты его мысли в доказательстве знаменитых теорем. Ее не покидало ощущение, что она идет по своим же следам – логика Гёделя была ей знакома. Самое сильное впечатление на нее произвела его лекция, прочитанная 26 декабря 1951 года в Провиденсе на ежегодной встрече членов Американского математического общества. В тот день коллеги встретили его бурными овациями. Гёдель, впрочем, уже был болен и с трудом выносил человеческое общество. Он быстро прочитал лекцию по бумажке и тут же скрылся, даже не дав публике задать вопросы.

Лекция в Провиденсе, текст которой Гёдель совершенствовал до самой смерти, посвящалась природе математического знания, современному платонизму и формализму. Платоники считали, что объекты математики существуют объективно. Ученые только открывают то, что уже есть. Формалисты, напротив, считают, что математика – это чистая игра ума и разум может создавать любые реальности, независимо от того, имеются ли они в природе.

Сам Гёдель был страстным платоником. Обе его теоремы описывают мир, где математические объекты существуют объективно. Это приравнивает математику к физике. Но в физике мы никогда не сможем описать все объекты. Как и в математике.

Ограничение, которое наложил Гёдель на математическое знание, действует вечно: или полнота знания без уверенности в его истинности, или истинность, но без полноты. Как говорил