class="p1">Свойство постоянной отдачи от масштаба этой функции придает значению полезности особый смысл: когда оба типа потребления удваиваются, значение полезности также увеличивается в том же размере.

Пусть функция производства продуктов для выживания будет

а функция производства полезных продуктов

LA и LB — земля, используемая для производства продуктов для выживания A и полезных продуктов B соответственно, а их сумма равна L:

LA + LB = L.

HA и HB — рабочая сила (население), используемая для производства продуктов для выживания A и полезных продуктов B соответственно, их сумма Н:

HA + HB = H.

А и В — технологические уровни двух секторов соответственно.

Предположение 1:

γA = γB ≡ γ < 1.

Допустим, что γA = γB, рост и сокращение населения повлияют на оба сектора в равной пропорции[156]. В графической модели это соответствует инвариантному к форме масштабированию границы производственных возможностей по мере изменения численности населения. Из-за снижения заработка γA и γB становятся меньше 1.

Решая задачу максимизации полезности при ограничениях на землю и рабочую силу, мы можем получить:

Подставим эти два уравнения в U = x1–βyβ:

Мы уже знаем, что A(H/L)γ–1(1 — β) = x, поэтому

Эта экономика стремится к равновесию за счет корректировки численности населения. В такой изолированной экономике чистые темпы роста населения gH равны естественному приросту населения n. Предположим, что естественный прирост зависит только от душевого потребления продуктов для выживания.

Предположение 2:

Именно уровень потребления продуктов для выживания на душу

сохраняет численность населения неизменной, что соответствует пересечению вертикальной линии баланса численности населения на оси x. В статическом равновесии x = , поэтому мы можем сделать ряд выводов.

Равновесная полезность на душу населения возрастает со степенью ориентации структуры производства на полезные продукты (B/A), относительным предпочтением полезных продуктов (β) и потреблением продуктов для выживания на душу, необходимых для поддержания демографического баланса ().

Вывод 1 точно соответствует трем сравнительным статическим результатам, полученным с помощью проиллюстрированной модели. Предположим, что в этой изолированной экономике технология производства продуктов для выживания А растет со скоростью gA, а технология производства продуктов для выживания В — со скоростью gВ; какова же будет скорость роста g благосостояния на душу населения U?

Чтобы решить эту задачу, сначала докажем следующую лемму.

Лемма 2

gA — (1 — γ)gH стремится к 0.

Доказательство

Известно, что изменения популяции подчиняются

после нормализации предложения земли до 1

x = A (1 — β)γHγ–1.

Подставив выражение для gH, получим

Используем M для обозначения ln A + (γ — 1) ln H, тогда

Действие М подчиняется

Поскольку (γ — 1) δ < 0, M стабилизируется на M*:

а dM = gA + (γ — 1) gH будет стремиться к 0. Что и требовалось доказать.

Теорема 3

gU стремится к β(gB — gA).

Доказательство

Во-первых, U необходимо выразить как функцию от A и B. Поскольку динамическое равновесие будет незначительно отклоняться от статического, нам нужно начать с вывода:

Проведем логарифмическую линеаризацию обеих частей уравнения и получим

gU = β(gB — gA) + gA — (1 — γ)gH.

Из леммы 2 мы знаем, что gA — (1 — γ)gH стремится к 0, поэтому gU будет стремиться к β(gB — gA). Что и требовалось доказать.

Модель демографической воронки

Предположим, существует бесчисленное множество деревень (целый океан), все изначально имеют одинаковый технический уровень и численность населения и последнее находится в состоянии равновесия. Со временем технологии продуктов для выживания и полезных продуктов во всех деревнях A’ и B’ застопорились, за исключением одной — алмазной. Там технология выживания А*, как и в других деревнях, всегда стагнировала на A’, но ее технология полезных продуктов В* стремилась к росту со скоростью g. Когда B* > B’, алмазная деревня привлечет мигрантов.

Предположение 3: торговля между деревнями отсутствует, но миграция бесплатна.

Миграция с нулевыми препятствиями означает, что между деревнями, находящимися в динамическом равновесии, нет различий в уровнях полезных продуктов. Поскольку вокруг море поселений, влияние иммиграции на любую окружающую деревню незначительно, поэтому в ситуации равновесия U* = U’.

Из вышеупомянутой двухсекторной модели получаем

поэтому при динамическом миграционном равновесии с нулевыми препятствиями

В данной формуле x* = x’, это потребление продуктов для выживания на душу населения в алмазной и других деревнях. После приведения и логарифмирования уравнения мы можем получить

Определим уровень миграции в алмазную деревню как m. В состоянии равновесия ее население сбалансировано, а мигранты лишь восполняют естественную убыль: m + n = 0.

Поэтому m = —n = —δ(ln x* — ln

). В других деревнях в состоянии равновесия x’ = . Определим относительную производительность полезных продуктов как Получаем связь между миграцией и структурой производства.

Теорема 4

m = βδ(s* — s′).

Уровень миграции пропорционален разнице в относительной производительности полезных продуктов между регионами. Регионы со структурой производства, ориентированной на полезные продукты, будут привлекать мигрантов. Те распространяют технологии. Предположим, что они заменяют технический уровень принимающей территории, замещая население в равных пропорциях.

Предположение 4: со времени t до t + ∆t технология производства полезных продуктов в алмазной деревне обновилась следующим образом:

B*(t + ∆t) = B*(t)1–m∆tB’(t)m∆t(1 + g∆t).

Разделим левую и правую части приведенного выше уравнения на A’ и логарифмируем. Имея предел последовательности при ∆t → 0, можем получить

s* = g — δβ(s* — s’)2.

Это дифференциальное уравнение имеет устойчивое равновесие.

Теорема 5

В долгосрочной перспективе, даже если технология производства полезных продуктов в алмазной деревне В* будет иметь потенциал роста со скоростью